CONCEPTO DE FUNCION - HISTORIA
El concepto de función tal y como hoy en día es conocido y desarrollado en los cursos básicos de matemática, surgió hasta el siglo XVIII, a diferencia del cálculo diferencial e integral que encontró su génesis un siglo antes, lo cual difiere de la forma clásica en como se presenta actualmente el cálculo, donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas e integrales. Que son de gran importancia, sin dejar de lado los refuerzos respectivos. El primer matemático que intenta dar una definición formal del concepto de función fue famoso y reconocido matemático e investigador en esta área Leonhard Euler; al afirmar: "Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes las cuales nos permiten generalizar y generalmente las representamos mediante letras o símbolos”. En la historia de las matemáticas se le da créditos al matemático suizo Leonhard Euler por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la griega, la babilónica, la egipcia y la china.
El concepto de función tal y como hoy en día es conocido y desarrollado en los cursos básicos de matemática, surgió hasta el siglo XVIII, a diferencia del cálculo diferencial e integral que encontró su génesis un siglo antes, lo cual difiere de la forma clásica en como se presenta actualmente el cálculo, donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas e integrales. Que son de gran importancia, sin dejar de lado los refuerzos respectivos. El primer matemático que intenta dar una definición formal del concepto de función fue famoso y reconocido matemático e investigador en esta área Leonhard Euler; al afirmar: "Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes las cuales nos permiten generalizar y generalmente las representamos mediante letras o símbolos”. En la historia de las matemáticas se le da créditos al matemático suizo Leonhard Euler por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la griega, la babilónica, la egipcia y la china.
VEAMOS UN CONCEPTO SOBRE LA FUNCION
Una función cuadrática es una expresión asociada a movimientos de partículas en cuya trayectoria describen una parábola o a eventos de la vida real en cualquier ámbito que tienen comportamiento similar.
Aquí se muestran algunos ejemplos gráficos de movimientos parabólicos y que se pueden representar matemáticamente mediante una función cuadrática.
cuando realizamos la grafica de una función cuadrática encontramos que esta se puede abrir hacia arriba o hacia abajo y que en cualquiera de los casos la expresión o función general es de la forma f(x) = a x2 + b x + c. Veamos algunas graficas que pueden representar a esta función general.
como lo vemos en estas graficas la función cuadrática repre
enta gráficamente a una parábola que se abre hacia arriba hacia abajo y que además puede cortar o tocar al eje x en:
a. ningún punto
b. un punto
c. en dos puntos
Es importante recordar que graficas como estas y muchas otras mas que encontramos en la cotidianidad representan eventos mediante los cuales podemos conceptualizar lo que es una función cuadrática. A continuación se muestran algunos ejemplos prácticos que se pueden describir mediante la utilización de las funciones cuadráticas y nos dejan entre ver las múltiples aplicaciones que con estas se pueden obtener y además visualizar su importancia en el desarrollo de procesos que en muchas ocasiones pueden ser procesos productivos. Haga click aqui para ver video explicativo
Veamos ahora algunos ejemplos que se pueden diagramar y representar mediante una función cuadrática la facilita la solución del problema.
ACTIVIDAD I PARA RESOLVER
1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado.
2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque. Si toda la superficie tiene un área de 75 metros cuadrados y también es rectangular
Entonces ¿cual es el área del camino? ¿Cuales son las dimensiones de los lados del camino si el estanque se encuentra ubicado en el centro?
Veamos ahora un ejemplo o ejercicios resueltos y el cual se hace fácil de resolver con la ayuda de la función cuadrática.
1. El director de un teatro estima que si cobra 30€ por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio. Miremos la tabla
Euros de descuento 0 1 2 x
Precio 30 30-1 30 – 2 30-x
No. de Espectadores 500 500 + 100.1 500 + 100.2 500 + 100.x
Ingresos 30.500 (30-1).(500+100.1) (30-2). (500+100.2) (30-x). (500+100.x)
Los ingresos obtenidos son: I (x) = (30-x). (500+100x) =-100x +2500x+15000
Siendo x los euros de descuento, en el precio de la entrada.
Este es un ejemplo resuelto en el cual se muestra la aplicación de la función cuadrática ya que nos dio una función de la forma ax + bx + c y que podríamos graficar y ver su comportamiento parabólico.
Veamos ahora la grafica de algunas funciones cuadráticas.
a. y = x2
b. y = - x2 + 4x + 3
c. y = x2 - 4x - 6
¿Que tal si haces la grafica de la función c?
Veamos ahora ¿Cuales son los pasos básicos para graficar una función cuadrática?
Antes veamos la grafica de una funcion cuadratica con sus puntos claves y que nos permiten hacer la grafica de una funcion cuadratica de cierta confiabilidad y sin necesidad de utilizar muchos datos.
1. Debemos encontrar los puntos de corte con el eje x es decir; los intersectos, raíces o ceros de la función, para lo cual hacemos a y = 0.
2. Encontramos el vértice V (x,y) también conocido como máximo o mínimo para lo cual hacemos a x = - b/2a o si aplicamos la derivada --> hacemos y' = 0.
Hacemos la tabla de datos colocando los valores que deseemos teniendo en cuenta los intersectos y el vértice.
4. Ubicamos los puntos de la tabla en el plano cartesiano y al unirlos adecuadamente obtenemos la grafica de la función.
ACTIVIDAD DE REFUERZO
1. Trace la grafica utilizando los pasos adecuados para cada una de las funciones.
a. y = 2 x2 -14x + 24 b. y = 5- 10x + 5 c. y = 6 x + 12 d. y = 3(x - 2) (x + 5) e. y = 3(x - 2) f. y = 3(x + 4) 2. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje x están en los puntos cuyas coordenadas son las siguientes (1,0) y (3,0). 3. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje x sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje y sea (0,4). 4. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).
1. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes: a. y = 2 x2 -14x + 24 b. y = 5 x2 - 10x + 5 c. y = 6 x2+ 12 d. y = 3(x - 2) (x + 5) e. y = 3(x – 2) 2 f. y = 3(x2 + 4) 2. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0). 3. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje x sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4). 4. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y que se corta con el eje y en (0,6).
¿COMO INFLUYEN LOS PARAMETROS EN LA GRAFICA DE LA FUNCION CUADRATICA?
Como sabemos la función cuadrática es de la forma y = a x2 + bx + c. De aquí se desprende que:
a. Si a > 0. La parábola se abre hacia arriba.
b. Si a < y =" a" y =" -a">
EJERCICIOS DE APLICACION PROPUESTOS
1. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?
2. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km.) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4 x2 + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
3. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km.) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2 x2 + 4x. a 1 Km. del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.
4. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = - x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos. a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros. b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?
5. La función de demanda para el fabricante de un producto es p=f (q)=1200-3q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por semanas). Encontrar el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso. 6. Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n), miles de familias lo usarán, en donde f(n)=10/9n (12-n), 0 ≤ n ≤12. Estime el número máximo de familias que usarán el producto. 7. Suponga que la altura s de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso está dada por s=-4.9t2+58.8t, donde s está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? 8. El desplazamiento s de un objeto desde un punto de referencia en el tiempo t, está dado por s=3.2t -16t+28.7, donde s está en metros y t en segundos. ¿Para qué valor de t ocurre el desplazamiento mínimo? ¿Cuál es el desplazamiento mínimo del objeto desde el punto de referencia? 9. Durante una colisión, la fuerza F (en newton) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo t de acuerdo con la ecuación F=87t-21t , donde t está en segundos. ¿Para qué valor de t fue máxima la fuerza? ¿Cuál fue el valor máximo de la fuerza? 10. Un constructor de edificios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto utilizando la orilla del río para un lado del área encerrada. Si el contratista tiene 200 pies de cerca, encontrar las dimensiones del área máxima que se puede encerrar.
ECUACIONES CUADRATICAS
OBJETIVO
Al terminar el tema estarás en capacidad de definir que es una ecuación cuadrática, relacionarla con las funciones cuadráticas, encontrar su solución por diferentes métodos y utilizarlas en un contexto real para resolver problemas de aplicación
1. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?
2. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km.) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4 x2 + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
3. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km.) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2 x2 + 4x. a 1 Km. del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.
4. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = - x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos. a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros. b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?
5. La función de demanda para el fabricante de un producto es p=f (q)=1200-3q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por semanas). Encontrar el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso. 6. Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n), miles de familias lo usarán, en donde f(n)=10/9n (12-n), 0 ≤ n ≤12. Estime el número máximo de familias que usarán el producto. 7. Suponga que la altura s de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso está dada por s=-4.9t2+58.8t, donde s está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? 8. El desplazamiento s de un objeto desde un punto de referencia en el tiempo t, está dado por s=3.2t -16t+28.7, donde s está en metros y t en segundos. ¿Para qué valor de t ocurre el desplazamiento mínimo? ¿Cuál es el desplazamiento mínimo del objeto desde el punto de referencia? 9. Durante una colisión, la fuerza F (en newton) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo t de acuerdo con la ecuación F=87t-21t , donde t está en segundos. ¿Para qué valor de t fue máxima la fuerza? ¿Cuál fue el valor máximo de la fuerza? 10. Un constructor de edificios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto utilizando la orilla del río para un lado del área encerrada. Si el contratista tiene 200 pies de cerca, encontrar las dimensiones del área máxima que se puede encerrar.
ECUACIONES CUADRATICAS
OBJETIVO
Al terminar el tema estarás en capacidad de definir que es una ecuación cuadrática, relacionarla con las funciones cuadráticas, encontrar su solución por diferentes métodos y utilizarlas en un contexto real para resolver problemas de aplicación
¿QUE ES UNA ECUACION CUADRATICA?
CONCEPTO DE ECUACION CUADRATICA Es una expresión o igualdad de la forma ax2 + bx + c = 0, en donde a debe se diferente de cero y además el mayor exponente de x debe ser 2. Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas y otros de no cuadráticas. CUADRATICAS NO CUADRATICAS
CONCEPTO DE ECUACION CUADRATICA Es una expresión o igualdad de la forma ax2 + bx + c = 0, en donde a debe se diferente de cero y además el mayor exponente de x debe ser 2. Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas y otros de no cuadráticas. CUADRATICAS NO CUADRATICAS
2x2+6x+4=0 3x-2=7
x2+10x+25=0 4x3-5x2-7=0
SOLUCION PARA UNA ECUACION CUADRATICA
Encontrar la solución de una ecuación cuadrática es hallar analíticamente los valores que hacen posible la igualdad, lo cual hace necesario aplicar algunos métodos específicos.METODOS DE SOLUCION PARA UNA ECUACION CUADRATICALos métodos que se utilizan con mas frecuencia son:a. Por factorizacionb. Completando cuadrado.c. Por la formula general.De estos tres métodos los más utilizados son el a y el c ya que son sencillos de aplicar y no requieren de mucho procedimiento y permiten en forma muy rápida encontrar la solución para una ecuación cuadrática.a.POR FACTORIZACIONEn este método, después de igualar la ecuación a cero, se procede a factorizar la expresión utilizando para ello los métodos tradicionales de factorizacion, luego igualamos c/u de los factores a cero y procedemos a despejar la variable, determinando así el conjunto solución. Veamos algunos ejemplos.Encontremos el conjunto solución para c/u de las s/tes ecuaciones cuadráticas.1. y2 + 3y + 2 = 0 --> ( y + 2 ) ( y + 1 ) = 0--> y + 2 = 0 --> y = - 2 y + 1 = 0 --> y = - 12. 6x + 19x +10 = --> (3x + 2) (3x + 5) = 0--> 3x + 2 = 0 --> x = - 2/3--> 3x + 5 = 0 --> x = -5/33. 8z + 14 = 12z +10 - z2 --> 8 z2 + z2 - 12z + 14 - 10 = 0--> 9 z2 - 12z + 4 = 0--> (3z - 2) (3z - 2) = 0--> 3z - 2 = 0 --> z = 2/3 b. SOLUCION POR LA FORMULA GENERAL Este método se utiliza con mucha frecuencia ya que se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática. Veamos la formula general y resolvamos algunos ejercicios. FORMULA GENERAL.
Encontrar la solución de una ecuación cuadrática es hallar analíticamente los valores que hacen posible la igualdad, lo cual hace necesario aplicar algunos métodos específicos.METODOS DE SOLUCION PARA UNA ECUACION CUADRATICALos métodos que se utilizan con mas frecuencia son:a. Por factorizacionb. Completando cuadrado.c. Por la formula general.De estos tres métodos los más utilizados son el a y el c ya que son sencillos de aplicar y no requieren de mucho procedimiento y permiten en forma muy rápida encontrar la solución para una ecuación cuadrática.a.POR FACTORIZACIONEn este método, después de igualar la ecuación a cero, se procede a factorizar la expresión utilizando para ello los métodos tradicionales de factorizacion, luego igualamos c/u de los factores a cero y procedemos a despejar la variable, determinando así el conjunto solución. Veamos algunos ejemplos.Encontremos el conjunto solución para c/u de las s/tes ecuaciones cuadráticas.1. y2 + 3y + 2 = 0 --> ( y + 2 ) ( y + 1 ) = 0--> y + 2 = 0 --> y = - 2 y + 1 = 0 --> y = - 12. 6x + 19x +10 = --> (3x + 2) (3x + 5) = 0--> 3x + 2 = 0 --> x = - 2/3--> 3x + 5 = 0 --> x = -5/33. 8z + 14 = 12z +10 - z2 --> 8 z2 + z2 - 12z + 14 - 10 = 0--> 9 z2 - 12z + 4 = 0--> (3z - 2) (3z - 2) = 0--> 3z - 2 = 0 --> z = 2/3 b. SOLUCION POR LA FORMULA GENERAL Este método se utiliza con mucha frecuencia ya que se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática. Veamos la formula general y resolvamos algunos ejercicios. FORMULA GENERAL.
EJERCICIOS DE APLICACION PROPUESTOS
1. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?
2. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km.) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4 x + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
3. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km.) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2 x + 4x. a 1 Km. del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6 - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.
4. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = - x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos. a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros. b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?
5. La función de demanda para el fabricante de un producto es p=f (q)=1200-3q2, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por semanas). Encontrar el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso. 6. Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n), miles de familias lo usarán, en donde f(n)=10/9n (12-n), 0 ≤ n ≤12. Estime el número máximo de familias que usarán el producto. 7. Suponga que la altura s de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso está dada por s=-4.9t2+58.8t, donde s está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? 8. El desplazamiento s de un objeto desde un punto de referencia en el tiempo t, está dado por s=3.2t -16t+28.7, donde s está en metros y t en segundos. ¿Para qué valor de t ocurre el desplazamiento mínimo? ¿Cuál es el desplazamiento mínimo del objeto desde el punto de referencia? 9. Durante una colisión, la fuerza F (en newton) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo t de acuerdo con la ecuación F=87t-21t , donde t está en segundos. ¿Para qué valor de t fue máxima la fuerza? ¿Cuál fue el valor máximo de la fuerza? 10. Un constructor de edificios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto utilizando la orilla del río para un lado del área encerrada. Si el contratista tiene 200 pies de cerca, encontrar las dimensiones del área máxima que se puede encerrar.
1. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?
2. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km.) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4 x + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
3. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km.) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2 x + 4x. a 1 Km. del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6 - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.
4. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = - x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos. a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros. b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?
5. La función de demanda para el fabricante de un producto es p=f (q)=1200-3q2, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por semanas). Encontrar el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso. 6. Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n), miles de familias lo usarán, en donde f(n)=10/9n (12-n), 0 ≤ n ≤12. Estime el número máximo de familias que usarán el producto. 7. Suponga que la altura s de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso está dada por s=-4.9t2+58.8t, donde s está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? 8. El desplazamiento s de un objeto desde un punto de referencia en el tiempo t, está dado por s=3.2t -16t+28.7, donde s está en metros y t en segundos. ¿Para qué valor de t ocurre el desplazamiento mínimo? ¿Cuál es el desplazamiento mínimo del objeto desde el punto de referencia? 9. Durante una colisión, la fuerza F (en newton) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo t de acuerdo con la ecuación F=87t-21t , donde t está en segundos. ¿Para qué valor de t fue máxima la fuerza? ¿Cuál fue el valor máximo de la fuerza? 10. Un constructor de edificios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto utilizando la orilla del río para un lado del área encerrada. Si el contratista tiene 200 pies de cerca, encontrar las dimensiones del área máxima que se puede encerrar.
EJERCICIOS DE REFUERZO Encuentre en conjunto solución para cada una de las s/tes ecuaciones cuadráticas 1. 4 x2 + 10x = 24 2. 5x2 - x + 6 = 12 3. 4y2 - 17y = -15 4. x2 + 5 = -3x - 2x + 10 5. 4y2 - 4y = -1 6. 1 = x2 - 3 7. z2 + z + 1 = 0 8. x2 + 4x + 4 = 0 9. 5 + b2 = 9 Investigar la solución COMPLETANDO CUADRADONOTA: No olvides que en los libros dados como referencia bibliografiíta encontraras explicaciones y problemas que te ayudaran a reforzar el conocimiento sobre cada uno de los temas.
